Що таке ЗОЛОТИЙ ПЕРЕРІЗ?
Історія. Гармонія пропорцій в природі, математики та мистецтві

Йоганн Kеплер говорив, що геометрія володіє двома скарбами
-теоремой Піфагора і золотим перетином.
І якщо перше з цих двох скарбів можна порівняти з мірою золота, то друге з дорогоцінним каменем.
Теорему Піфагора знає кожен школяр, а що таке золоте сеченіе- далеко не всі.

Людина розрізняє навколишні його предмети за формою. Інтерес до форми якого-небудь предмета може бути продиктований життєвою необхідністю, а може бути викликаний красою форми. Форма, в основі побудови якої лежать поєднання симетрії і золотого перетину, сприяє найкращому зоровому сприйняттю і появі відчуття краси і гармонії. Ціле завжди складається з частин, частини різної величини знаходяться в певному відношенні один до одного і до цілого. Принцип золотого перетину - вищий прояв структурного і функціонального досконалості цілого і його частин в мистецтві, науці, техніці і природі.

У математиці пропорцією називають рівність двох відносин: a: b = c: d.
Відрізок прямої АВ можна розділити точкою C на дві частини наступними способами:
на дві рівні частіАВ: АC = АВ: ВС;
на дві нерівні частини в будь-якому відношенні (такі частини пропорції не утворюють);
таким чином, коли АВ: АC = АC: ВC.
Останнє і є золотий розподіл або розподіл відрізка в крайньому і середньому відношенні.

Золотий перетин - це таке пропорційне ділення відрізка на нерівні частини, при якому весь відрізок так відноситься до більшої частини, як сама велика частина відноситься до меншої; або іншими словами, менший відрізок так відноситься до більшого, як більший до всього
a: b = b: c або з: b = b: а.

Відрізки золотий пропорції виражаються нескінченної ірраціональної дробом 0,618 ..., якщо c прийняти за одиницю, a = 0,382. Числа 0.618 і 0.382 є коефіцієнтами послідовності Фібоначчі. На цій пропорції базуються основні геометричні фігури.
Прямокутник з таким відношенням сторін стали називати золотим прямокутником. Він також володіє цікавими властивостями. Якщо від нього відрізати квадрат, то залишиться знову золотий прямокутник. Цей процес можна продовжувати до нескінченності. А якщо провести діагональ першого і другого прямокутника, то точка їх перетину належатиме всім одержуваних золотим прямокутникам.
Зрозуміло є і золотий трикутник. Це трикутник, у якого відношення довжини бічної сторони до довжини основи дорівнює 1.618.
Є і золотий кубоід - це прямокутний паралелепіпед з ребрами, що мають довжини 1.618, 1 і 0.618.
У зірчастому п'ятикутнику кожна з п'яти ліній, що складають цю фігуру, ділить іншу щодо золотого перетину, а кінці зірки є золотими трикутниками.

Друге ЗОЛОТИЙ ПЕРЕРІЗ

Історія ЗОЛОТОГО ПЕРЕРІЗУ

Прийнято вважати, що поняття про золотий розподіл увів у науковий обіг Піфагор, давньогрецький філософ і математик (VI ст. До н.е.). Є припущення, що Піфагор своє знання золотого розподілу запозичив у єгиптян і вавилонян. І дійсно, пропорції піраміди Хеопса, храмів, барельєфів, предметів побуту і прикрас з гробниці Тутанхамона свідчать, що єгипетські майстри користувалися співвідношеннями золотого розподілу при їхньому створенні. Французький архітектор Ле Kорбюзье знайшов, що в рельєфі з храму фараонa Мережі I в Абідосі і в рельєфі, що зображує фараона Pамзеса, пропорції фігур відповідають величинам золотого розподілу. Зодчий Хесира, зображений на рельєфі дерев'яної дошки з гробниці його імені, тримає в руках вимірювальні інструменти, в яких зафіксовані пропорції золотого розподілу.
Греки були майстерними геометрами. Навіть арифметиці навчали своїх дітей за допомогою геометричних фігур. Kвадрат Піфагора і діагональ цього квадрата були підставою для побудови динамічних прямокутників.
Платон (427 ... 347 рр. До н.е.) також знав про золотий розподіл. Його діалог "Тімей" присвячений математичним і естетичним поглядам школи Піфагора і, зокрема, питанням золотого розподілу. У фасаді давньогрецького храму Парфенона присутні золоті пропорції. При його розкопках виявлені циркулі, якими користувалися архітектори і скульптори античного світу. У помпейському циркулі (музей у Неаполі) також закладені пропорції золотого розподілу.
У дійшла до нас античній літературі золотий розподіл вперше згадується в "Засадах" Евкліда. У 2-ій книзі "Почав" дається геометрична побудова золотого розподілу. Після Евкліда дослідженням золотого розподілу займалися Гипсикл (II ст. До н.е.), Папп (III в. Н.е.) і ін. У середньовічній Європі з золотим розподілом познайомилися по арабських перекладах "Почав" Евкліда. Перекладач Дж.Kампано з Наварри (III в.) Зробив до перекладу коментарі. Секрети золотого розподілу ревно оберігалися, зберігалися в суворій таємниці. Вони були відомі тільки обраним.
В епоху Відродження посилюється інтерес до золотого поділу серед вчених і художників у зв'язку з його застосуванням як у геометрії, так і в мистецтві, особливо в архітектурі. Леонардо Да Вінчі , Художник і вчений, бачив, що в італійських художників емпіричний досвід великий, а знань мало. Він задумав і почав писати книгу по геометрії, але в цей час з'явилася книга ченця Луки Пачолі, і Леонардо залишив свою витівку. На думку сучасників і істориків науки, Лука Пачолі був справжнім світилом, найбільшим математиком Італії в період між Фібоначчі і Галілеєм. Лука Пачолі був учнем художника П'єро делла Франчески, що написав дві книги, одна з яких називалася "Про перспективу в живописі". Його вважають творцем нарисної геометрії.
Лука Пачолі чудово розумів значення науки для мистецтва. У 1496 р на запрошення герцога Моро він приїжджає в Мілан, де читає лекції з математики. У Мілані при дворі Моро в той час працював і Леонардо да Вінчі. У 1509 року в Венеції була видана книга Луки Пачолі "Божественна пропорція" з блискуче виконаними ілюстраціями, через що вважають, що їх зробив Леонардо да Вінчі. Kнига була захопленим гімном золотої пропорції. Серед багатьох достоїнств золотої пропорції чернець Лука Пачолі не забув назвати і її "божественну суть" як вираження божественної триєдності бог син, бог батько і бог дух святий (малося на увазі, що малий відрізок є уособлення бога сина, більший відрізок - бога батька, а весь відрізок - бога духу святого).
Леонардо Да Вінчі також багато уваги приділяв вивченню золотого розподілу. Він справляв перетину стереометричного тіла, утвореного правильними п'ятикутниками, і кожен раз отримував прямокутники з відносинами сторін у золотому розподілі. Тому він дав цьому розподілу назва золотий перетин. Так воно і тримається досі як найпопулярніше.
У той же час на півночі Європи, в Німеччині, над тими ж проблемами трудився Альбрехт Дюрер. Він робить начерки введення до першого варіанту трактату про пропорції. Дюрер пише. "Необхідно, щоб той, хто що-небудь уміє, навчив цього інших, які цього потребують. Це я і думав був учинити" .Cудя по одному з листів Дюрера, він зустрічався з Лукою Пачолі під час перебування в Італії. Альбрехт Дюрер докладно розробляє теорію пропорцій людського тіла. Важливе місце в своїй системі співвідношень Дюрер відводив золотому перетину. Pост людини ділиться в золотих пропорціях лінією пояса, а також лінією, проведеною через кінчики середніх пальців опущених рук, нижня частина обличчя - ротом і т.д. Відомий пропорційний циркуль Дюрера.
Великий астроном XVI в. Іоган Kеплер назвав золотий перетин одним з скарбів геометрії. Він перший звертає увагу на значення золотої пропорції для ботаніки (ріст рослин і їх будова). Кеплер називав золоту пропорцію продовжує саму себе «Влаштована вона так, - писав він, - що два молодших члена цієї нескінченної пропорції в сумі дають третій член, а будь-які два останніх члена, якщо їх скласти, дають наступний член, причому та ж пропорція зберігається до нескінченності ».
У наступні століття правило золотої пропорції перетворилося в академічний канон і, коли з часом в мистецтві почалася боротьба з академічною рутиною, в запалі боротьби "разом з водою виплеснули і дитину". Знову "відкрито" золотий перетин було в середині XIX в.
У 1855 р німецький дослідник золотого перетину професор Цейзинг опублікував свою працю "Естетичні дослідження". Він абсолютизував пропорцію золотого перетину, оголосивши її універсальною для всіх явищ природи і мистецтва. У Цейзинга були численні послідовники, але були і противники, які оголосили його вчення про пропорції «математичної естетикою».
Цейзинг виконав колосальну роботу. Він виміряв близько двох тисяч людських тіл і прийшов до висновку, що золотий перетин виражає середній статистичний закон. Розподіл тіла точкою пупа - найважливіший показник золотого перетину. Пропорції чоловічого тіла коливаються в межах середнього відношення 13: 8 = 1,625 і трохи ближче підходять до золотого перетину, ніж пропорції жіночого тіла, щодо якої середнє значення пропорції виражається в співвідношенні 8: 5 = 1,6. У новонародженого пропорція становить відношення 1: 1, до 13 років вона дорівнює 1,6, а до 21 року дорівнює чоловічий. Пропорції золотого перетину проявляються і в відношенні інших частин тіла - довжина плеча, передпліччя і кисті, кисті і пальців і т.д.
Справедливість своєї теорії Цейзинг перевіряв на грецьких статуях. Найбільш докладно він розробив пропорції Аполлона Бельведерського. Зазнали дослідженню грецькі вази, архітектурні споруди різних епох, рослини, тварини, пташині яйця, музичні тони, віршовані розміри. Цейзинг дав визначення золотого перерізу, показав, як воно виражається в відрізках прямої і в цифрах. Коли цифри, що виражають довжини відрізків, були отримані, Цейзинг побачив, що вони складають ряд Фібоначчі, який можна продовжувати до нескінченності в одну і в іншу сторону. Наступна його книга мала назву «Золоте поділ як основний морфологічний закон у природі і мистецтві». У 1876 р в Росії була видана невелика книжка, майже брошура, з викладом цієї праці Цейзинга. Автор сховався під ініціалами Ю.Ф.В. У цьому виданні не згадано ні один твір живопису. В кінці XIX - початку XX ст. з'явилося чимало чисто формалістичних теорії про застосування золотого перетину в творах мистецтва і архітектури. З розвитком дизайну і технічної естетики чинність закону золотого перетину поширилася на конструювання машин, меблів і т.д

ряд Фібоначчі

З історією золотого перетину непрямим чином пов'язане ім'я італійського математика ченця Леонардо з Пізи, більш відомого під ім'ям Фібоначчі (син Боначчі). Він багато подорожував по Сходу, познайомив Європу з індійськими (арабськими) цифрами. У 1202 р вийшов у світ його математична праця «Книга про абаці» (лічильної дошці), в якому були зібрані всі відомі на той час завдання. Одне із завдань свідчила «Скільки пар кроликів в один рік від однієї пари народиться». Розмірковуючи на цю тему, Фібоначчі вибудував такий ряд цифр:
Місяці 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 і т.д.
Пари кроликів 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 і т.д.
Ряд чисел 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 і т.д.
відомий як ряд Фібоначчі. Особливість послідовності чисел полягає в тому, що кожен її член, починаючи з третього, дорівнює сумі двох попередніх 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 і т.д., а відношення суміжних чисел ряду наближається до відношення золотого ділення. Так, 21: 34 = 0,617, а 34: 55 = 0,618. Це відношення позначається символом Ф. Тільки це відношення - 0,618: 0,382 - дає безперервний розподіл відрізка прямої в золотій пропорції, збільшення його або зменшення до нескінченності, коли менший відрізок так відноситься до більшого, як більший до всього .. Фібоначчі так само займався вирішенням практичних потреб торгівлі: за допомогою якого найменшої кількості гир можна зважити товар?
Фібоначчі доводить, що оптимальною є така система гир: 1, 2, 4, 8, 16 ...

Узагальнене ЗОЛОТИЙ ПЕРЕРІЗ

Ряд Фібоначчі міг би залишитися тільки математичним казусом, якби не та обставина, що всі дослідники золотого поділу в рослинному і в тваринному світі, не кажучи вже про мистецтво, незмінно приходили до цього ряду як арифметичному вираженню закону золотого перерізу.
Вчені продовжували активно розвивати теорію чисел Фібоначчі і золотого перетину. Ю. Матіясевіч з використанням чисел Фібоначчі вирішує 10-ю проблему Гільберта. Виникають витончені методи вирішення ряду кібернетичних задач (теорії пошуку, ігор, програмування) з використанням чисел Фібоначчі і золотого перетину. У США створюється навіть Математична Фібоначчі-асоціація, яка з 1963 року випускає спеціальний журнал.Однім з досягнень в цій області є відкриття узагальнених чисел Фібоначчі і узагальнених золотих перетинів.
Ряд Фібоначчі (1, 1, 2, 3, 5, 8) і відкритий ним же «двійковий» ряд гир 1, 2, 4, 8, 16 ... на перший погляд абсолютно різні. Але алгоритми їх побудови досить схожі один на одного: в першому випадку кожне число є сума попереднього числа з самим собою 2 = 1 + 1; 4 = 2 + 2 ..., у другому - це сума двох предидущх чисел 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2 .... Чи не можна відшукати загальну математичну формулу, з якої виходять і « двійковий »ряд, і ряд Фібоначчі? А може бути, ця формула дасть нам нові числові безлічі, що володіють якимись новими унікальними властивостями?
Дійсно, задамося числовим параметром S, який може приймати будь-які значення: 0, 1, 2, 3, 4, 5 ... Розглянемо числовий ряд, S + 1 перших членів якого - одиниці, а кожен з наступних дорівнює сумі двох членів попереднього і віддаленого від попереднього на S кроків. Якщо n -й член цього ряду ми позначимо через φS (n), то отримаємо загальну формулу
φS (n) = φS (n - 1) + φS (n - S - 1).
Очевидно, що при S = 0 з цієї формули ми одержимо «двійковий» ряд, при S = 1 - ряд Фібоначчі, при S = 2, 3, 4. нові ряди чисел, які отримали назву S -чісел Фібоначчі.
У загальному вигляді золота S -пропорція є позитивний корінь рівняння золотого S -сеченія
xS + 1 - xS - 1 = 0.
Неважко показати, що при S = 0 виходить розподіл відрізка навпіл, а при S = 1 -знайомиться класичне золотий перетин.
Відносини сусідніх S -чісел Фібоначчі з абсолютною математичною точністю збігаються в межі з золотими S -пропорціямі! Математики в таких випадках кажуть, що золоті S -сеченія є числовими інваріантами S -чісел Фібоначчі.
Факти, що підтверджують існування золотих S -сеченій в природі, призводить білоруський вчений Е.М. Сороко в книзі «Структурна гармонія систем» (Мінськ, «Наука і техніка», 1984). Виявляється, наприклад, що добре вивчені подвійні сплави мають особливі, яскраво вираженими функціональними властивостями (стійкі в термічному відношенні, тверді, зносостійкі, стійкі до окислення і т. П) тільки в тому випадку, якщо питомі ваги вихідних компонентів пов'язані один з одним однією з золотих S -пропорцій. Це дозволило автору висунути гіпотезe про те, що золоті S -сеченія є числові інваріанти систем, що самоорганізуються. Будучи підтвердженою експериментально, ця гіпотеза може мати фундаментальне значення для розвитку синергетики - нової галузі науки, що вивчає процеси в самоорганізованих системах.
За допомогою кодів золотої S -пропорціі можна виразити будь-яке дійсне число у вигляді суми ступенів золотих S -пропорцій з цілими коефіцієнтами.
Принципова відмінність такого способу кодування чисел полягає в тому, що підстави нових кодів, що представляють собою золоті S -пропорціі, при S> 0 виявляються ірраціональними числами. Таким чином, нові системи числення з ірраціональними підставами як би ставлять «з голови на ноги» історично сформовану ієрархію відносин між числами раціональними і ірраціональними. Справа в тому, що спочатку були «відкриті» числа натуральні; потім їх відносини - числа раціональні. І лише пізніше - після відкриття пифагорийцев несумірних відрізків - на світло з'явилися ірраціональні числа. Скажімо, в десяткової, пятеричной, двійковій та інших класичних позиційних системах числення як своєрідної першооснови були обрані натуральні числа - 10, 5, 2, - з яких вже за певними правилами конструювалися всі інші натуральні, а також раціональні та ірраціональні числа.
Свого роду альтернативою існуючим способам числення виступає нова, ірраціональна система, як першооснови, почала числення якої вибрано ірраціональне число (що є, нагадаємо, коренем рівняння золотого перетину); через нього вже виражаються інші дійсні числа.
У такій системі числення будь-яке натуральне число завжди можна подати у вигляді кінцевої - а не нескінченної, як думали раніше! - суми ступенів будь-який з золотих S -пропорцій. Це одна з причин, чому «ірраціональна» арифметика, наділений великою математичною простотою і витонченістю, як би увібрала в себе кращі якості класичної двійкової і «фібоначчійовий» арифметик.

Принципи формоутворення в природі

Все, что набувало якусь форму, утворювалося, росло, прагнуло зайнятості місце в пространстве и Зберегти себе. Це Прагнення знаходится Здійснення в основному в двох варіантах - зростання вгору або расстилание по поверхні землі и закручування по спіралі.
Раковина закручена по спіралі. Если ее Розгорнутим, то виходом довжина, немного поступається довжіні змії. Невелика десятисантиметровими раковина має спіраль довжиною 35 см. Спіралі дуже поширені в природі. Уявлення про золотий перетин буде неповним, якщо не сказати про спіралі. Ще Гете підкреслював тенденцію природи до спіральності. Гвинтоподібне і спиралевидное розташування листя на гілках дерев помітили давно. Спіраль побачили в розташуванні насіння соняшника, в шишках сосни, ананасах, кактуси і т.д. Спільна робота ботаніків і математиків пролила світло на ці дивовижні явища природи. З'ясувалося, що в розташуванні листя на гілці (філотаксіс), насіння соняшнику, шишок сосни проявляє себе ряд Фібоначчі, а отже, проявляє себе закон золотого перетину.
Павук плете павутину спіралеподібно. Спіраллю закручується ураган. Перелякана стадо північних оленів розбігається по спіралі. Молекула ДНК закручена подвійною спіраллю. Гете називав спіраль "кривою життя».
Серед придорожніх трав росте нічим не примітне рослина - цикорій. Придивімося до нього уважно. Від основного стебла утворився відросток. Тут же розташувався перший листок. Відросток робить сильний викид в простір, зупиняється, випускає листок, але вже коротше першого, знову робить викид в простір, але вже меншої сили, випускає листок ще меншого розміру і знову викид. Якщо перший викид прийняти за 100 одиниць, то другий рівний 62 одиницям, третій - 38, четвертий - 24 і т.д. Довжина пелюсток теж підпорядкована золотий пропорції. У зростанні, завоюванні простору рослина зберігало певні пропорції. Імпульси його росту поступово зменшувалися в пропорції золотого перетину. У ящірці з першого погляду уловлюються приємні для нашого ока пропорції - довжина її хвоста так відноситься до довжини решти тіла, як 62 до 38.
І в рослинному, і в тваринному світі наполегливо пробивається формотворна тенденція природи - симетрія щодо напрямку росту і руху. Тут золотий перетин проявляється в пропорціях частин перпендикулярно до напрямку росту.
Природа здійснила розподіл на симетричні частини і золоті пропорції. У частинах проявляється повторення будови цілого.

Великий Гете, поет, натураліст і художник (він малював і писав аквареллю), мріяв про створення єдиного вчення про форму, освіті і перетворенні органічних тел. Це він ввів у науковий обіг термін морфологія.
П'єр Кюрі на початку нашого століття сформулював ряд глибоких ідей симетрії. Він стверджував, що не можна розглядати симетрію якого-небудь тіла, не враховуючи симетрію навколишнього середовища.
Закономірності «золотої» симетрії проявляються в енергетичних переходах елементарних частинок, в будові деяких хімічних сполук, в планетарних і космічних системах, в генних структурах живих організмів. Ці закономірності, як вказано вище, є в будові окремих органів людини і тіла в цілому, а також проявляються в біоритми і функціонуванні головного мозку і зорового сприйняття.

Золотий перетин і симетрія

Золотий перетин можна розглядати саме по собі, окремо, без зв'язку з симетрією. Великий російський кристаллограф Г.В. Вульф (1863 ... 1925) вважав золотий перетин одним із проявів симетрії.
Золоте поділ не є прояв асиметрії, чогось протилежного симетрії Відповідно до сучасних уявлень золотий розподіл - це асиметрична симетрія. У науку про симетрії увійшли такі поняття, як статична і динамічна симетрія. Статична симетрія характеризує спокій, рівновагу, а динамічна - рух, зростання. Так, в природі статична симетрія представлена ​​будовою кристалів, а в мистецтві характеризує спокій, рівновагу і нерухомість. Динамічна симетрія виражає активність, характеризує рух, розвиток, ритм, вона - свідчення життя. Статичної симетрії властиві рівні відрізки, рівні величини. Динамічної симетрії властиве збільшення відрізків або їх зменшення, і воно виражається в величинах золотого перетину зростаючого або спадної ряду.
Віктор Лаврус
http://www.nt.ru/tp/iz/zs.htm
НиТ