1. Кутова швидкість в двомірному просторі [ правити | правити код ]
2. Зв'язок з кінцевим поворотом в просторі [ правити | правити код ]
3. Коментарі [ правити | правити код ]
4. джерела [ правити | правити код ]

Матеріал з Вікіпедії - вільної енциклопедії

Поточна версія сторінки поки не перевіряв досвідченими учасниками і може значно відрізнятися від версії , Перевіреної 16 січня 2019; перевірки вимагає 1 правка . Поточна версія сторінки поки не перевіряв досвідченими учасниками і може значно відрізнятися від версії , Перевіреної 16 січня 2019; перевірки вимагає 1 правка .

Кутова швидкість - величина, що характеризує швидкість обертання матеріальної точки навколо центру обертання. Для обертання в двомірному просторі кутова швидкість виражається числом , В тривимірному просторі представляється псевдовектори (аксіальним вектором) , А в загальному випадку - кососімметріческіх тензором [1] .

Кутова швидкість в двомірному просторі [ правити | правити код ]

Векторне подання до тривимірному просторі [ правити | правити код ]

У тривимірному просторі вектор кутової швидкості за величиною дорівнює розі повороту точки навколо центру обертання за одиницю часу:

ω = d φ d t, {\ displaystyle \ omega = {\ frac {d \ varphi} {dt}},}

а спрямований по осі обертання згідно правилом свердлика , Тобто в ту сторону, в яку угвинчувався б буравчик або гвинт з правого різьбленням, якби обертався в цю сторону. Інший мнемонічний підхід для запам'ятовування взаємний зв'язок між напрямком обертання і напрямком вектора кутової швидкості полягає в тому, що для умовного спостерігача, що знаходиться на кінці вектора кутової швидкості, що виходить з центру обертання, саме обертання виглядає тим, що відбувається проти годинникової стрілки.

Кутова швидкість є аксіальним вектором (псевдовектори). При відображенні осей системи координат компоненти звичайного вектора (наприклад, радіус-вектора точки) змінюють знак. У той же час компоненти псевдовектори (зокрема, кутової швидкості) при такому перетворенні координат залишаються колишніми.

Одиниця виміру кутовий швидкості, прийнята в Міжнародній системі одиниць (СІ) і в системах СГС і МКГСС , - радіан в секунду (російське позначення: рад / с, міжнародне: rad / s) [2] [Ком 1] . У техніці також використовуються обороти в секунду, набагато рідше - градуси, хвилини, секунди дуги в секунду, гради в секунду. Часто в техніці використовують обороти в хвилину - це йде з тих часів, коли частоту обертання тихохідних парових машин визначали просто на око, підраховуючи число обертів за одиницю часу.

Вектор миттєвої швидкості будь-якої точки абсолютно твердого тіла , Що обертається з кутовою швидкістю ω → {\ displaystyle {\ vec {\ omega}}} , Визначається формулою:

v → = [ω →, r →], {\ displaystyle {\ vec {v}} = [\ {\ vec {\ omega}}, {\ vec {r}} \],}

де r → {\ displaystyle {\ vec {r}}} - радіус-вектор до цієї точки з початку координат, розташованого на осі обертання тіла, а квадратними дужками позначено векторний витвір . Лінійну швидкість (збігається з модулем вектора швидкості) точки на певній відстані ( радіусі ) R {\ displaystyle r} від осі обертання можна вважати так: v = r ω. {\ Displaystyle v = r \ omega.} Якщо замість радіанів застосовувати інші одиниці вимірювання кутів, то в двох останніх формулах з'явиться множник, що не дорівнює одиниці.

• У разі плоского обертання, тобто коли всі вектори швидкостей точок тіла завжди лежать в одній площині ( «площині обертання»), кутова швидкість тіла завжди перпендикулярна цій площині, і по суті - якщо площину обертання свідомо відома - може бути замінена скаляром - проекцією на вісь обертання, тобто на пряму, ортогональную площині обертання. В цьому випадку кінематика обертання сильно спрощується. Однак в загальному випадку кутова швидкість може змінювати з часом напрямок в тривимірному просторі, і така спрощена картина не працює.
• Рух з постійним вектором кутової швидкості називається рівномірним обертальним рухом (в цьому випадку кутове прискорення дорівнює нулю). Рівномірне обертання є окремим випадком плоского обертання.
• похідна кутової швидкості по часу є кутове прискорення .
• Кутова швидкість (розглянута як вільний вектор) однакова в усіх інерційних системах відліку , Що відрізняються становищем початку відліку і швидкістю його руху, але рухаються рівномірно прямолінійно і поступально один щодо одного. Однак в цих інерційних системах відліку може відрізнятися положення осі або центру обертання одного і того ж конкретного тіла в один і той же момент часу (тобто буде різною «точка прикладання» кутової швидкості).
• У разі руху точки в тривимірному просторі можна написати вираз для кутової швидкості цієї точки щодо обраного початку координат :

ω → = r → × v → (r →, r →), {\ displaystyle {\ vec {\ omega}} = {\ frac {{\ vec {r}} \ times {\ vec {v}}} { ({\ vec {r}}, {\ vec {r}})}},} де r → {\ displaystyle {\ vec {r}}} - радіус-вектор точки (з початку координат), v → {\ displaystyle {\ vec {v}}} - швидкість цієї точки, r → × v → {\ displaystyle {\ vec {r}} \ times {\ vec {v}}} - векторний витвір , (R →, r →) {\ displaystyle ({\ vec {r}}, {\ vec {r}})} - скалярний добуток векторів. Однак ця формула не визначає кутову швидкість однозначно (в разі єдиною точки можна підібрати і інші вектори ω →, {\ displaystyle {\ vec {\ omega}},} підходящі за визначенням, по-іншому - довільно - вибравши напрямок осі обертання), а для загального випадку (коли тіло включає більше однієї матеріальної точки) - ця формула не вірна для кутової швидкості всього тіла (так як дає різні ω → {\ displaystyle { \ vec {\ omega}}} для кожної точки, а при обертанні абсолютно твердого тіла вектора кутової швидкості обертання всіх його точок збігаються). Однак в двовимірному випадку (у разі плоского обертання) ця формула цілком достатня, однозначна і коректна, так як в цьому окремому випадку напрямок осі обертання свідомо однозначно визначено.

Зв'язок з кінцевим поворотом в просторі [ правити | правити код ]

ω → = n → θ ˙ + n → ˙ sin ⁡ θ + n → × n → ˙ (1 - cos ⁡ θ). {\ Displaystyle {\ vec {\ omega}} = {\ vec {n}} {\ dot {\ theta}} + {\ dot {\ vec {n}}} \ sin \ theta + {\ vec {n} } \ times {\ dot {\ vec {n}}} (1 \ cos \ theta).} ω i = 1 2 ε i j k T j n T ˙ k n. {\ Displaystyle \ omega _ {i} = {\ frac {1} {2}} \ varepsilon _ {ijk} T_ {jn} {\ dot {T}} _ {kn}.} ω i = 4 T i j 1/2 W j 1 + V 2. {\ Displaystyle \ omega _ {i} = {\ frac {4T_ {ij} ^ {1/2} W_ {j}} {1 + V ^ {2}}}.}

Коментарі [ правити | правити код ]

1. ↑ плоский кут , Який визначається як відношення довжини дуги окружності , Укладеної між двома радіусами , До довжини радіуса, безрозміряний , Тому одиницею виміру плоских кутів є число «один», а одиницею виміру кутовий швидкості в системі СІ - з -1. Однак, в разі плоских кутів одиниці «один» присвоєно спеціальне найменування «радіан» для того, щоб в кожному конкретному випадку полегшити розуміння того, яка саме фізична величина мається на увазі [3] .

джерела [ правити | правити код ]

• Лур'є А. І. Аналітична механіка. - М.: ГІФМЛ, 1961. - С. 100-136. - 824 с.