1. Історія систем числення Сучасна людина в повсякденному житті постійно стикається з числами: ми запам'ятовуємо...
2. Давньоєгипетська десяткова непозиційних система
3. Вавилонська шістдесяткова система
4. Римська система
5. Слов'янська система числення
6. Грецька (ионийская) система числення
7. література

Історія систем числення

Сучасна людина в повсякденному житті постійно стикається з числами: ми запам'ятовуємо номера автобусів і телефонів, в магазині підраховуємо вартість покупок, ведемо свій сімейний бюджет в рублях і копійках (сотих частках рубля) і т.д. Числа, цифри ... вони з нами всюди. А що знав людей про числах кілька тисяч років тому? Питання непросте, але дуже цікавий. Історики довели, що і п'ять тисяч років тому люди могли записувати числа і щоб між ними чинити арифметичні дії. Звичайно, принципи запису були зовсім не такими, як зараз. Але влюбом випадку число зображувалося за допомогою одного або декількох символів.

Ці символи, які беруть участь у записі числа, в математики та інформатики прийняти називати цифрами

Але що ж люди розуміють тоді під словом "число"?

Спочатку поняття абстрактного числа відсутнє, число було "прив'язано" до тих конкретних предметів, які перераховували. Абстрактне поняття натурального числа з'являється разом з розвитком писемності. Дробові ж числа винайшли тоді, коли виникла необхідність проводити вимірювання. Вимірювання, як відомо, це порівняння з іншою величиною того ж роду, обраній як еталон.

Еталон називається ще одиницею виміру. Зрозуміло, що одиниця вимірювання не завжди вкладалася ціле число раз в вимірюваній величині. Звідси і виникла практична потреба ввести більш "дрібні" числа, ніж натуральні. Подальший розвиток поняття числа було обумовлено вже розвитком математики.

Поняття числа - фундаментальне поняття як математики, так і інформатики. Надалі при викладі матеріалу під числом ми будемо розуміти його величину, а не його символьну запис.

Сьогодні, в самому кінці XX століття, для запису чисел людство використовує в основному десяткову систему числення. А що таке система числення?

Система числення - це спосіб запису (зображення) чисел.

Різні системи числення, які існували раніше і які використовуються в даний час, діляться на дві групи: позиційні і непозиційної.

Найбільш досконалими є позиційні системи числення, тобто системи запису чисел, в яких вклад кожної цифри в величину числа залежить від її положення (позиції) в послідовності цифр, що зображає число. Наприклад, наша звична десяткова система є позиційною: в числі 34 цифра 3 позначає кількість десятків і "вносить" в величину числа 30, а в числі 304 та ж цифра 3 позначає кількість сотень і "вносить" в величину числа 300.

Системи числення, в яких кожній цифрі відповідає величина, яка не залежить від її місця в запису числа, називаються непозиційних.

Позиційні системи числення - результат тривалого історичного розвитку непозиційних систем числення.

одинична система

Потреба в запису чисел з'явилася в дуже давні часи, як тільки люди почали рахувати. Кількість предметів, наприклад овець, зображувалося нанесенням рисок або зарубок на будь - якої твердої поверхні: камені, глині, дереві (до винайдення паперу було ще дуже і дуже далеко). Кожній вівці в такому записі відповідала одна риска. Археологами знайдені такі "записи" при розкопках культурних шарів, що відносяться до періоду палеоліту (10 - 11 тисяч років до н.е.).

Вчені назвали цей спосіб запису чисел одиничної ( "паличної") системою числення. У ній для запису чисел застосовувався тільки один вид знаків - "паличка". Кожне число в такій системі числення позначалося за допомогою рядка, складеної з паличок, кількість яких і дорівнювало позначається числу.

Незручності такої системи запису чисел і обмеженість її застосування очевидні: чим більше число треба записати, тим довше рядок з паличок. Та й під час запису великого числа легко помилитися, завдавши зайве кількість паличок або, навпаки, не дописавши їх.

Можна запропонувати, що для полегшення рахунку люди стали групувати предмети по 3, 5, 10 штук. І при записи використовували знаки, відповідні групі з кількох предметів. Природно, що при підрахунку використовувалися пальці рук, тому першими з'явилися знаки для позначення група предметів з 5 і 10 штук (одиниць). Таким чином, виникли вже більш зручні системи запису чисел.

Давньоєгипетська десяткова непозиційних система

У давньоєгипетській системі числення, яка виникла в другій половині третього тисячоліття до н.е., використовувалися спеціальні цифри для позначення чисел 1, 10, 102, 103, 104, 105, 106, 107. Числа в єгипетській системі числення записувалися як комбінації цих цифр , в яких кожна з них повторювалася не більше дев'яти раз.

Приклад. Число 345 древні єгиптяни записували так:

В основі як паличної, так і давньоєгипетської системи числення лежав простий принцип складання, згідно з яким значення числа дорівнює сумі значень цифр, які беруть участь в його записи. Вчені відносять давньоєгипетську систему числення до десяткової непозиционной.

Вавилонська шістдесяткова система

Також далеко від наших днів, за дві тисячі років до н.е., в іншій великій цивілізації -вавілонской - люди записували цифри по-іншому.

Числа в цій системі числення складалися з знаків двох видів: прямий клин служив для позначення одиниць, а лежачий клин - для позначення десятків.

Для визначення значення числа треба було зображення числа розбити на розряди справа наліво. Новий розряд починався з появи прямого клина після лежачого, якщо розглядати число справа наліво.

Наприклад: Число 32 записували так:

Знаки прямий клин і лежачий клин служили цифрами в цій системі. Число 60 знову позначалося тим же прямим клином, що і 1, цим же знаком позначалися і числа 3600 = 602, 216000 = 603 і всі інші ступеня 60. Тому вавилонська система числення отримала назву Шістдесяткова.

Значення числа визначали за значеннями складових його цифр, але з урахуванням того, що цифри в кожному наступному розряді значили в 60 разів більше тих же цифр в попередньому розряді.

Приклад. Число 92 = 60 + 32 записували так:

а число 444 в цій системі записи чисел мало вигляд

тому 444 = 7 * 60 + 24.

Виключно для наочності розділений прогалиною (якого не було у вавилонян) старший розряд (лівий) і молодший.

Всі числа від 1 до 59 вавілоняни записували в десяткового непозиционной системі, а число в цілому - в позиційній системі з основою 60.

Запис числа у вавилонян була неоднозначною, тому що не існувало цифри для позначення нуля. Запис числа 92, наведена вище, могла позначати не тільки 92 = 60 + 32, але і, наприклад, 3632 = 3600 + 32. Для визначення абсолютного значення числа були потрібні додаткові відомості. Згодом вавілоняни ввели спеціальний символ для позначення пропущеного шістдесяткова розряду

що відповідає появі цифри 0 в запису десяткового числа.

Приклад. Число 3632 тепер потрібно було записувати так:

Але в кінці числа цей символ зазвичай не ставилося, тобто цей символ все-таки не був цифрою "нуль" в нашому розумінні, і знову ж таки були потрібні додаткові відомості для того, щоб відрізнити 1 від 60, від 3600 і т.д.

Таблицю множення вавилоняни ніколи не запам'ятовували, тому що це було практично неможливо. При обчисленнях використовувалися готові таблиці множення.

Шістдесяткова вавилонська система - перша відома нам система числення, частково заснована на позиційному принципі.

Система вавилонян зіграла велику роль у розвитку математики і астрономії, її сліди збереглися і до наших днів. Так, ми до сих пір ділимо годину на 60 хвилин, а хвилину на 60 секунд. Наслідуючи приклад вавилонян, ми і окружність ділимо на 360 частин (градусів).

Римська система

Знайома нам римська система не дуже принципово відрізняється від єгипетської. У ній для позначення чисел 1, 5, 10, 50, 100, і 1000 використовуються великі латинські літери I, V, X, C, D і M відповідно, є цифрами цієї системи числення.

Число в римській системі числення позначається набором стоять поспіль цифр. Значення числа одно:

1. сумі значень йдуть підряд кількох однакових цифр (назвемо їх групою першого виду);

2. різниці значень двох цифр, якщо зліва від більшої цифри варто менша. У цьому випадку від значення більшої цифри віднімається значення меншою цифри. Разом вони утворюють групу другого виду. Зауважимо, що ліва цифра може бути менше правої максимум на один порядок: так, перед L (50) і С (100) з "молодших" може стояти тільки X (10), перед D (500) і M (1000) - тільки C (100), перед V (5) - тільки I (1);

3. сумі значень груп і цифр, що не увійшли до групи першого або другого виду.

Приклад 1. Число 32 в римській системі числення має вигляд XXXII = (X + X + X) + (I + I) = 30 + 2 (дві групи першого виду).

Приклад 2. Число 444, що має в своїй десяткового запису 3 однакові цифри, в римській системі числення буде записано у вигляді CDXLIV = (DC) + (LX) + (VI) = 400 + 40 + 4 (три групи другого виду).

Приклад 3. Число 1974 римської системі числення буде мати вигляд MCMLXXIV = M + (MC) + L + (X + X) + (VI) = 1000 + 900 + 50 + 20 + 4 (поряд з групами обох видів у формуванні числа беруть участь окремі "цифри").

Слов'янська система числення

Дана система числення є алфавітної тобто замість цифр використовуються літери алфавіту. Дана система числення застосовувалася нашими предками і була досить складною, тому що використовує в якості цифр 27 букв.

Великі числа представлялися на основі даних чисел.

Наприклад, тисяча представлялася так

Більші числа, як, наприклад, мільйон, або тьма, виглядали наступним чином.

Ось деякі числа записані в слов'янської системі числення

Дана система є непозиционной, тобто число не залежить від послідовності цифр.

Грецька (ионийская) система числення

Дана система числення, так само як і слов'янська, є алфавітної, тобто використовує букви в написанні чисел. Певної букві у відповідність ставилася цифра:

Тисяча позначалася наступним чином:

Відповідно дві тисячі виглядали як:

Десятки тисяч або міріади греки позначали як:

Пізніше десятки тисяч стали відокремлювати точкою. Наприклад число 15.3444 виглядало наступним чином

література

Берман Н.Г. "Рахунок і число". ОГИЗ Гостехиздат Москва 1947 рік.

Сайт створено в системі uCoz