1. Згадаймо властивості коренів
2. Перетворення виразів з числами під знаками коренів
3. Перетворення виразів зі змінними під знаками коренів
4. допоміжні результати

Матеріал цієї статті варто розглядати як частину теми перетворення ірраціональних виразів . Тут ми на прикладах розберемо всі тонкощі і нюанси (яких чимало), що виникають при проведенні перетворень на базі властивостей коренів.

Згадаймо властивості коренів

Коль скоро ми зібралися розбиратися з перетворенням виразів з використанням властивостей коренів, то не завадить згадати основні властивості коренів , А ще краще записати їх на папір і розташувати перед собою.

• , Де a≥0, b≥0, воно поширюється на твір k невід'ємних множників a1, a2, ..., ak як ;
• або в іншому записі , Де a≥0, b> 0;
• і його узагальнення , Де a - будь-яке дійсне число, а m - натуральне (при цьому число 2 · m - парне).

А пізніше уявлення про корінь розширюється, вводиться визначення кореня n-го ступеня, і розглядаються такі властивості (a, b, a1, a2, ..., ak - дійсні числа, m, n, n1, n2, ..., nk - натуральні числа):

• , Де a≥0, b≥0, його узагальнення , Де a1≥0, a2≥0, ..., ak≥0.
• , Де a≥0, b> 0.
• , , Де a - будь-яке дійсне число.
• , , Де a≥0.
• , Де a≥0.
• , Де a≥0.

Перетворення виразів з числами під знаками коренів

Зазвичай спочатку вчаться працювати з числовими виразами, а вже після цього переходять до виразів зі змінними. Так зробимо і ми, і спочатку розберемося з перетворенням ірраціональних виразів, що містять під знаками коренів тільки числові вирази, а вже далі в наступному пункті будемо вводити під знаки коренів і змінні.

Всі наведені вище властивості коренів є вірні числові рівності при зазначених обмеженнях на числа a, b і т.п. Тобто, якщо числа a, b і т.д. відповідають зазначеним умовам, то значення виразу , Записаного в лівій частині будь-якого з цих рівностей, дорівнює значенню виразу, що знаходиться в правій частині. Для прикладу візьмемо вираз . Числа 4 і 9 - позитивні, тому по властивості кореня з добутку його можна замінити твором коренів . Переконатися в рівність значень цих виразів не складає труднощів: і (При необхідності дивіться статтю витяг коренів ).

Як це може бути використано для перетворення виразів? Дуже просто: наприклад, ірраціональне вираз ми можемо замінити виразом або навпаки. Тобто, якщо в складі перетворювати вирази міститься вираз, що збігається з вигляду з виразом з лівої (правої) частини будь-якого з перерахованих властивостей коренів, то його можна замінити відповідним виразом з правої (лівої) частини. В цьому і полягає перетворення виразів з використанням властивостей коренів.

Наведемо ще кілька прикладів.

спростимо вираз . Числа 3, 5 і 7 позитивні, тому ми можемо спокійно застосовувати властивості коренів. Тут можна діяти по-різному. Наприклад, корінь на базі властивості можна уявити як , А корінь з використанням властивості при k = 3 - як , При такому підході рішення матиме такий вигляд:

Можна було вчинити інакше, замінивши на , і далі на , В цьому випадку рішення виглядало б так:

Можливі й інші варіанти вирішення, наприклад, такий:

Розберемо рішення ще одного прикладу. перетворимо вираз . Поглянувши на список властивостей коренів, вибираємо з нього потрібні нам властивості для вирішення прикладу, зрозуміло, що тут знадобляться два з них і , Які справедливі для будь-яких a. маємо:

Як варіант, спочатку можна було перетворити вираження під знаками коренів з використанням властивостей ступенів

а вже далі застосовувати властивості коренів

До цього моменту ми перетворювали вираження, які містять тільки квадратні корені. Прийшов час попрацювати з корінням, що мають інші показники.

Перетворіть ірраціональне вираз .

по властивості перший множник заданого твори можна замінити числом -2:

Йдемо далі. другий множник в силу властивості можна уявити як , А 81 не завадить замінити четверний ступенем трійки, так як в інших множниках під знаками коренів фігурує число 3:

Корінь з дробу доцільно замінити відношенням коренів виду , Яке можна перетворити і далі: . маємо

Отриманий вираз після виконання дій з двійками набуде вигляду , І залишається перетворити твір коренів.

Для перетворення творів коренів їх зазвичай призводять до одного показника, в якості якого доцільно брати найменше спільне кратне (НОК) показників всіх коренів. У нашому випадку НОК (12, 6, 12) = 12, і до цього показника доведеться приводити лише корінь , Так як інші два кореня вже мають такий показник. Справитися з цим завданням дозволяє рівність , Яке застосовують справа наліво. так . З огляду на цей результат, маємо

Тепер твір коренів можна замінити коренем твори і виконати інші, вже очевидні, перетворення:

Оформимо короткий варіант рішення:

.

Окремо підкреслимо, що для застосування властивостей коренів необхідно враховувати обмеження, накладені на числа під знаками коренів (a≥0 і т.п.). Їх ігнорування може спровокувати виникнення невірних результатів. Наприклад, ми знаємо, що властивість має місце для невід'ємних a. На його основі ми спокійно можемо перейти, наприклад, від до , Так як 8 - позитивне число. А ось якщо взяти має сенс корінь з від'ємного числа, наприклад, , І на базі зазначеного вище властивості замінити його на , То ми фактично замінимо -2 на 2. дійсно, , а . Тобто, при негативних a рівність може бути і неправильним, як можуть бути невірними і інші властивості коренів без урахування обумовлених для них умов.

Але сказане в попередньому пункті зовсім не означає, що вирази з негативними числами під знаками коренів неможливо перетворювати з використанням властивостей коренів. Їх просто попередньо потрібно «підготувати», застосувавши правила дій з числами або скориставшись визначенням кореня непарного степеня з від'ємного числа, якому відповідає рівність , Де -a - негативне число (при цьому a - позитивне). Наприклад, не можна відразу замінити на , Так як -2 і -3 - негативні числа, але правило множення негативних чисел дозволяє нам від кореня перейти до , І вже далі застосовувати властивість кореня з твору: . А в одному з попередніх прикладів переходити від кореня до кореню вісімнадцятої ступеня потрібно було не так , А так .

Отже, для перетворення виразів з використанням властивостей коренів, треба

• вибрати відповідне властивість зі списку,
• переконатися, що числа під коренем задовольняють умовам для обраного властивості (в іншому випадку потрібно виконати попередні перетворення),
• і провести задумане перетворення.

Перетворення виразів зі змінними під знаками коренів

Для перетворення ірраціональних виразів, що містять під знаком кореня не тільки числа, а й змінні, властивості коренів, перераховані в першому пункті цієї статті, доводиться застосовувати акуратно. Пов'язано це здебільшого з умовами, яким повинні задовольняти числа, які беруть участь в формулах. Наприклад, спираючись на формулу , вираз можна замінити виразом лише для таких значень x, які задовольняють умовам x≥0 і x + 1≥0, так як зазначена формула задана для a≥0 і b≥0.

Чим небезпечне ігнорування цих умов? Відповідь на це питання наочно демонструє наступний приклад. Припустимо, нам потрібно обчислити значення виразу при x = -2. Якщо відразу підставити замість змінної x число -2, то отримаємо потрібну нам значення . А тепер уявімо, що ми, виходячи з якихось міркувань, перетворили заданий вираз до виду , І тільки після цього вирішили обчислити значення. Підставляємо замість x число -2 і приходимо до виразу , Яке не має сенсу.

Давайте простежимо, що відбувається з областю допустимих значень (ОДЗ) змінної x при переході від виразу до вираження . ОДЗ ми згадали не випадково, так як це серйозний інструмент контролю допустимості виконаних перетворень, і зміна ОДЗ після перетворення виразу має як мінімум насторожити. Знайти ОДЗ для зазначених виразів не складає труднощів. для вираження ОДЗ визначається з нерівності x · (x + 1) ≥0, його рішення дає числове безліч (-∞, -1] ∪ [0, + ∞). А для вираження ОДЗ визначається системою нерівностей , Звідки маємо [0, + ∞). Висновок: відбулося звуження ОДЗ, а ми домовилися уникати перетворень, які звужують ОДЗ.

Зауважимо, що контроль ОДЗ є допоміжним інструментом. Тобто, якщо в результаті зробленого перетворення область допустимих значень не змінилася, то це ще не означає, що дане перетворення можна було проводити і що воно взагалі допустимо. Наприклад, з урахуванням якості як би природною виглядає заміна на . При цьому ОПЗ змінної x не змінюється, але така заміна не має місця при x-7 <0 (x <7). Наприклад, при x = 6 значення виразу є 1, а значення виразу є -1. Справа тут в тому, що до формули додається умова a≥0, його ігнорування може призводити до невірних результатів.

Так ми підійшли до дуже важливого моменту. У школі в переважній кількості випадків область допустимих значень змінних для перетворюється вираження така, що можна вільно користуватися всіма відомими властивостями коренів. До цього швидко звикаєш, причому настільки, що починаєш використовувати властивості коренів без побоювання, ні про що додатково не замислюючись. І саме в цей момент і проскакують приклади (вони зазвичай вважаються прикладами підвищеної складності), в яких властивості коренів потрібно було застосовувати акуратно (як в прикладі з попереднього абзацу). Так ось, закликаємо Вас зберігати пильність, і постійно запитувати себе: «А чи можна в даному випадку вдаватися до цього перетворенню, і на всій чи ОДЗ допустимо це перетворення»?

a) ОПЗ змінної x для вираження визначається системою , Рішенням якої є безліч [1, + ∞). При будь-якому значенні змінної x з [1, + ∞) значення виразів x і x-1 позитивні. Це дає нам право на вільне використання властивостей коренів при проведенні перетворень:

або

b) ОПЗ змінної x для вираження є безліч всіх дійсних чисел. Для перетворення напрошується властивість , Але воно дано для a≥0, а не для будь-якого a. Чи можемо ми на базі зазначеної властивості провести перетворення

або

За умови x + 2≥0, що те ж саме x≥-2, можемо. А для решти x з ОДЗ, тобто, для x <-2 це загрожує негативними наслідками у вигляді неправильного результату.

Як же бути при x <-2? Можна поступити наступним чином. При x <-2, відштовхуючись від визначення модуля числа, вираз x + 2 можна записати як - | x + 2 | :

Отриманий вираз ми можемо спокійно перетворювати з використанням властивостей коренів, так як значення виразу | x + 2 | неотрицательно при будь-яких x. маємо

або

Залишається розкрити модуль. Так як ці перетворення ми проводили для x <-2, то за цієї умови .

Давайте розберемо рішення ще одного прикладу зі схожими міркуваннями, щоб вони стали звичними.

Спростіть ірраціональне вираз , Представивши його у вигляді кореня четвертого ступеня.

Очевидно, область допустимих значень змінної x складається з усіх дійсних чисел.

Спираючись на властивість ступеня , Заданий вираз можна записати у вигляді , З якого чітко видно, що перетворити його до потрібного нам вигляду дозволяє властивість кореня . Але воно задано для невід'ємних a, тому перетворення має місце для всіх значень змінної x, що задовольняють умові (x2-x2) 3≥0. Знайдемо безліч таких значень змінної x, для чого вирішимо записане нерівність. Від нього можна перейти до нерівності (x + 1) 3 · (x-2) 3≥0, а для його вирішення підходить метод інтервалів . З його допомогою знаходимо x∈ (-∞, -1] ∪ [2, + ∞).

При інших x з ОДЗ, тобто, при x∈ (-1, 2) значення виразу (x2-x2) 3 негативні, і сам вираз можна представити як - | (x2-x2) 3 | . Тоді при x∈ (-1, 2) маємо

Отже,

Отримані результати можна об'єднати, записавши їх за допомогою модуля як , А останній вираз в силу властивостей модуля можна переписати у вигляді .

.

З попередніх прикладів добре видно, що необхідність врахування додаткових умов змушує вдаватися до використання модуля, що робить процес перетворення ірраціональних виразів на базі властивостей коренів досить копіткою. У зв'язку з цим виникає природне бажання як-небудь спростити його. Зробити це можна так: взяти за основу відомі властивості коренів, припустити, що числа a, b і т.д. можуть бути будь-якими (не обов'язково задовольняють умовам властивостей) і провести міркування, аналогічні тим, до яких ми вдавалися в двох попередніх прикладах. Це призведе нас до ряду результатів, що дозволяють проводити перетворення виразів з коренями набагато швидше, так як вони позбавлять нас від необхідності звертатися до модулів при вирішенні кожного прикладу. Запишемо ці допоміжні результати в наступному пункті.

допоміжні результати

Найзручніше їх оформити у вигляді таблиці, що складається з двох колонок. У ліву колонку помістимо вираження, які потрібно замінити, а в праву - вираження, якими можна замінити відповідні вирази з лівої частини. Ці заміни мають місце для будь-яких значень змінних з ОДЗ для виразів з лівої частини таблиці. Літерами A і B позначені довільні числа або виразу.

Перші результати цієї таблиці можна поширити на твір трьох, чотирьох і т.д. множників, які перебувають під знаком кореня. Так при непарних n корінь можна замінити твором , А при парних n - твором .

Наприклад, за допомогою записаних результатів корінь на ОПЗ змінної x відразу можна замінити твором коренів виду . Аналогічно, на ОПЗ змінної x для вираження його можна перетворити в дріб . Ось ще кілька прикладів: , і .

Ці ж результати дозволяють вирішити останній приклад з попереднього пункту набагато швидше:

Покажемо, як були отримані деякі з цих результатів.

Почнемо з самого першого з них: при непарних n вираз на всій ОДЗ змінних для цього виразу можна замінити на , А при парних n - на .

Доведемо першу частину. При непарних n для будь-якого набору значень змінних з ОДЗ для вихідного вираження значення виразів A і B такі, що

• або вони обидва невід'ємні,
• або перше неотрицательно, а друге негативно,
• або перше негативно, а друге неотрицательно,
• або вони обидва негативні.

У першому випадку з властивості коренів , A≥0, b≥0, відразу робимо висновок, що .

У другому випадку мають місце такі перетворення:

У третьому випадку, аналогічно,

І в четвертому випадку маємо

Цим доведено, що при непарних n на ОДЗ змінних для вираження цей вислів можна замінити на .

Переходимо до доведення другої частини твердження. При парних n при будь-якому наборі значень змінних з ОДЗ змінних для вираження значення виразу A · B неотрицательно. Тому можна записати як , А так як модуль добутку дорівнює добутку модулів, то останній вираз можна переписати у вигляді , Звідки в силу властивості коренів маємо . Що й потрібно було довести.

Наведемо приклади. Розглянемо ірраціональне вираз , ОПЗ змінної x для нього є безліч всіх дійсних чисел. В силу тільки що доведеного твердження вираз можна замінити виразом на множині R. А корінь можна замінити твором коренів на ОПЗ змінної x для вихідного вираження, тобто, на безлічі (-∞, -3] ∪ [5, + ∞).

Який ще результат довести? Давайте доведемо, що при парних m і будь-яких натуральних n на ОДЗ змінних для вираження його можна замінити на .

Для тих значень змінних з ОДЗ, при яких значення виразу A невід'ємні, вираз можна переписати у вигляді і далі в силу властивостей модуля як . А по властивості коренів , Де a≥0, має місце рівність .

А для тих значень змінних, при яких значення виразу A негативні, вираз можна переписати як . Далі мають місце такі переходи: . Перший з них можливий в силу властивостей ступеня, другий - в силу того, що m - парне, а третій - в силу властивості коренів , Де a≥0. На цьому доказ завершено.

Аналогічно обгрунтовуються і інші результати з таблиці.

Колись розбиратися?

Замовте рішення